Dokumen ini bertujuan menurunkan secara sistematis rumus presesi perihelion untuk orbit partikel uji di sekitar objek simetris bola dalam kerangka Teori Prasion. Penurunan dilakukan murni berdasarkan postulat dan parameter internal teori, tanpa merujuk pada konsep massa atau konstanta gravitasi. Hasil akhir berupa ungkapan yang hanya melibatkan parameter Prasion (θ, R) dan elemen orbit (a, e)
2. Metrik Prasion untuk Objek Simetris Bola
Dalam Teori Prasion, medan Intensitas di sekitar objek dengan parameter modulasi θ dan radius karakteristik R diberikan oleh$$ I(r) = 1 - \frac{\theta R}{4r}, \, r \geq R $$Metrik ruang‑waktu yang konsisten dengan definisi Intensitas sebagai rasio waktu proper terhadap waktu koordinat di void (I = τ/t) adalah$$ ds^2 = -c^2 I(r)^2 dt^2 + I(r)^{-2} dr^2 + r^2 d\Omega^2, $$dengan dΩ² = dθ² + sin²θ dφ². Karena simetri bola, gerak dapat dibatasi pada bidang ekuator (θ = π/2), sehingga dΩ² = dφ².
3. Konstanta Gerak dari Geodesik
Untuk partikel uji bermassa, gunakan waktu proper τ sebagai parameter. Lagrangian$$ L = \frac{1}{2} \left[ -c^2 I^2 \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^2 + I^{-2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + r^2 \left( \frac{d\phi}{d\tau} \right)^2 \right], $$dengan titik menyatakan turunan terhadap τ. Metrik tidak bergantung eksplisit pada t dan φ, sehingga diperoleh dua konstanta gerak:$$ E = c^2 I^2 \frac{dt}{d\tau} \, (\text{energi per satuan massa}), $$$$ h = r^2 \frac{d\phi}{d\tau} \, (\text{momentum sudut per satuan massa}). $$
Sehingga:$$2\frac{d^2u}{d\varphi^2} = \frac{2\beta c^2}{h^2} - 2u + 6\beta u^2 - \frac{2\beta^2 c^2 u}{h^2} - 4\beta^2 u^3.$$Bagi kedua ruas dengan 2:$$\frac{d^2u}{d\varphi^2} = \frac{\beta c^2}{h^2} - u + 3\beta u^2 - \frac{\beta^2 c^2 u}{h^2} - 2\beta^2 u^3.$$Pindahkan suku -u ke ruas kiri:$$\frac{d^2u}{d\varphi^2} + u = \frac{\beta c^2}{h^2} + 3\beta u^2 - \frac{\beta^2 c^2 u}{h^2} - 2\beta^2 u^3.$$Kembalikan β = θR/4:$$\frac{d^2u}{d\varphi^2} + u = \frac{c^2 \theta R}{4h^2} + \frac{3\theta R}{4} u^2 - \frac{c^2 \theta^2 R^2}{16h^2} u - \frac{\theta^2 R^2}{8} u^3. \tag{5}$$
8. Aproksimasi Pasa‑Newtonian
Untuk orbit dengan θR ≪ a (medan lemah), suku yang mengandung θ² dapat diabaikan pada aproksimasi pertama. Persamaan (5) tereduksi menjadi$$\frac{d^2u}{d\varphi^2} + u = \frac{c^2 \theta R}{4h^2} + \frac{3\theta R}{4} u^2. (6)$$Ini adalah persamaan dasar untuk menurunkan presesi perihelion.
9. Solusi Orde Nol (Newtonian dalam Prasion)
Tanpa suku u², solusi umum adalah$$u_0(\varphi) = \frac{c^2 \theta R}{4h^2} \left[1 + e \cos(\varphi - \varphi_0)\right].$$Pilih φ₀ = 0 dengan mengarahkan sumbu ke perihelion. Definisikan$$p = \frac{4h^2}{c^2 \theta R}, \qquad u_0 = \frac{1}{p}(1 + e \cos \varphi). \tag{7}$$Parameter p adalah semi‑latus rektum orbit. Untuk orbit elips dalam kerangka Prasion, berlaku hubungan p = a(1−e²), dengan a sumbu semi‑mayor.
10. Teori Perturbasi
Cari solusi u = u_0 + u_1 dengan u_1 kecil. Substitusi ke (6) dan hanya pertahankan suku linear dalam u_1 pada ruas kiri, sedangkan ruas kanan diekspansi hingga orde terendah:$$\frac{d^2 u_1}{d\varphi^2} + u_1 = \frac{3\theta R}{4} u_0^2. \tag{8}$$Hitung u₀² menggunakan (7):$$u_0^2 = \frac{1}{p^2} \left(1 + 2e \cos \varphi + e^2 \cos^2 \varphi\right) = \frac{1}{p^2} \left(1 + \frac{e^2}{2} + 2e \cos \varphi + \frac{e^2}{2} \cos 2\varphi\right). \tag{9}$$
11. Suku Resonan dan Solusi Partikular
Suku cos φ pada ruas kanan (8) menghasilkan resonansi karena merupakan solusi homogen. Tulis$$\frac{3\theta R}{4} u_0^2 = \frac{3\theta R}{4p^2} \left[ \left(1 + \frac{e^2}{2}\right) + 2e \cos \varphi + \frac{e^2}{2} \cos 2\varphi \right].$$Bagian resonan adalah (3θR/(4p²)) · 2e cos φ = (3θR e)/(2p²) cos φ.Persamaan diferensial$$\frac{d^2 u_1}{d\varphi^2} + u_1 = A \cos \varphi, \quad \text{dengan } A = \frac{3\theta R e}{2p^2}.$$mempunyai solusi partikular berbentuk (A/2) φ sin φ (karena d²/dφ² (φ sin φ) + φ sin φ = 2 cos φ). Jadi$$u_{1,\text{res}} = \frac{A}{2} \varphi \sin \varphi = \frac{3\theta R e}{4p^2} \varphi \sin \varphi. \tag{10}$$Suku‑suku lain (konstan dan cos 2φ) memberikan osilasi periodik yang tidak berkontribusi pada pergeseran fase sekuler.
12. Interpretasi sebagai Pergeseran Fase
Solusi total hingga orde pertama:$$u(\varphi) \approx \frac{1}{p} \left[ 1 + e \cos \varphi + \frac{3\theta R}{4p} e \varphi \sin \varphi \right].$$Definisikan δ = (3θR)/(4p). Maka$$u(\varphi) \approx \frac{1}{p} \left[ 1 + e \left( \cos \varphi + \delta \varphi \sin \varphi \right) \right].$$Untuk δ ≪ 1, berlaku cos φ + δ φ sin φ ≈ cos((1-δ)φ) karena ekspansi deret Taylor cos(φ - δφ) = cos φ cos(δφ) + sin φ sin(δφ) ≈ cos φ + δφ sin φ. Dengan demikian$$u(\varphi) \approx \frac{1}{p} \left[ 1 + e \cos \left( (1 - \delta) \varphi \right) \right]. \tag{11}$$Perihelion terjadi ketika argumen kosinus sama dengan 2πn, yaitu (1-δ)φ = 2πn atau φ = (2πn)/(1-δ) ≈ 2πn(1+δ). Setelah satu putaran (n=1), sudut yang ditempuh bertambah sebesar 2πδ radian.
13. Rumus Presesi Perihelion
Pergeseran perihelion per revolusi adalah$$\Delta \varphi = 2\pi \delta = 2\pi \cdot \frac{3\theta R}{4p} = \frac{3\pi \theta R}{2p}.$$Mengingat p = a(1−e²), diperoleh rumus akhir dalam parameter Prasion:$$\Delta \varphi_{\text{Prasion}} = \frac{3\pi \theta R}{2a(1 - e^2)} \quad \text{(radian per revolusi)}. \tag{12}$$
14. Diskusi
Rumus (12) hanya bergantung pada parameter fundamental Prasion θ dan R serta elemen orbit a dan e. Tidak terdapat massa atau konstanta gravitasi.
Batas θ ≤ 2 (dari kecepatan lepas) memberikan batas atas presesi Δφ_max = (3πR)/(a(1−e²)).
Untuk θ R ≪ a (medan lemah), presesi sangat kecil, sesuai dengan ekspektasi.
Derivas ini sepenuhnya internal dan konsisten dengan postulat Teori Prasion.
15. Kesimpulan
Telah diturunkan secara sistematis rumus presesi perihelion dalam kerangka Prasion tanpa menggunakan konsep eksternal. Hasilnya menunjukkan bahwa efek relativistik muncul secara alami dari non‑linearitas medan Intensitas I(r).